Bentuk Ruang

Oleh: Graham P. Collins

(Sumber: Scientific American, Juli 2004, hal. 94-103)

Seorang matematikawan Rusia telah membuktikan penaksiran Poincaré yang berumur seabad dan melengkapi katalog ruang tiga-dimensi. Dia mungkin akan memperoleh hadiah $1 juta.

Henri Poincaré menaksir pada 1904 bahwa objek tiga-dimensi
yang memiliki atribut-atribut tertentu bola tiga-dimensi bisa diubah
bentuk menjadi bola-3. Perlu 99 tahun bagi matematikawan untuk membuktikan
penaksirannnya itu. (Awas: bola tiga-dimensi barangkali tidak seperti yang Anda pikirkan!) 

Berdiri dan tengoklah sekeliling. Berjalan melingkar. Melompat di udara. Lambaikan tangan Anda. Anda adalah sekumpulan partikel yang bergerak-gerak dalam sekawasan kecil manifold-3—ruang tiga-dimensi—yang membentang ke semua arah sejauh bermiliar-miliar tahun-cahaya.

Manifold adalah konstruk matematis. Kemenangan fisika sejak zaman Galileo dan Kepler adalah keberhasilan deskripsi realitas melalui matematika beberapa citarasanya, semisal matematika manifold. Menurut fisika, segala sesuatu berada di depan latar belakang ruang tiga-dimensi (kesampingkan spekulasi para teoris string bahwa ada dimensi-dimensi kecil di samping tiga dimensi yang nyata) [lihat “Teori yang Dulu Dikenal Sebagai String”, tulisan Michael J. Duff, Scientific American, Februari 1998]. Tiga dimensi berarti tiga bilangan dibutuhkan untuk menetapkan lokasi partikel. Di dekat Bumi, contohnya, tiga bilangan itu berupa garis lintang, garis bujur, dan ketinggian.

Menurut fisika Newtonian dan fisika quantum tradisional, ruang tiga-dimensi di mana segala sesuatu berada adalah pasti dan tetap. Teori relativitas umum Einstein, sebaliknya, menjadikan ruang sebagai pemain aktif: jarak dari satu titik ke titik lain dipengaruhi oleh seberapa banyak materi dan energi di dekatnya dan oleh gelombang gravitasi yang melintas [lihat “Ripple in Spacetime”, tulisan W. Wayt Gibbs, Scientific American, April 2002]. Tapi baik membahas fisika Newtonian ataupun Einsteinian dan baik ruang [berluas] terhingga ataupun tak terhingga, ruang direpresentasikan dengan manifold-3. Oleh sebab itu memahami atribut manifold-3 sangatlah esensial untuk memahami penuh fondasi hampir seluruh fisika—dan semua sains lain. (Manifold-4 juga penting: ruang dan waktu bersama-sama membentuk manifold-4.)

Grigori Perelman mendiskusikan bukti penaksiran 
Poincaré temuannya dan mendiskusikan pelengkapan 
program geometrisasi Thurston dalam sebuah seminar 
di Universitas Princeton pada April 2003.

Matematikawan tahu banyak tentang manifold-3, tapi beberapa pertanyaan paling dasar terbukti amat sulit. Cabang matematika yang mempelajari manifold adalah topologi. Di antara pertanyaan fundamental yang bisa ditanyakan para pakar topologi tentang manifold-3 adalah: Apa tipe manifold-3 yang paling sederhana, yang strukturnya kurang rumit? Apakah ia memiliki banyak sepupu yang sama-sama sederhana, ataukah ia satu-satunya? Apa jenis-jenis manifold-3 yang ada?

Jawaban untuk pertanyaan pertama sudah lama diketahui: ruang bernama bola-3 merupakan manifold-3 kompak paling sederhana. (Manifold non-kompak bisa dianggap [berluas] tak terhingga atau memiliki tepi. Selanjutnya saya hanya akan membahas manifold kompak.) Dua pertanyaan lain digenggam selama seabad tapi mungkin telah terjawab pada tahun 2002 oleh Grigori (“Grisha”) Perelman, matematikawan Rusia yang kemungkinan besar telah membuktikan teorema yang dikenal sebagai penaksiran Poincaré.

Overview/Membuktikan Poincaré

• Selama 100 tahun, matematikawan mencoba membuktikan sebuah penaksiran yang pertama kali diajukan oleh Henri Poincaré berkenaan dengan objek yang dikenal sebagai bola tiga-dimensi, atau bola-3. Penaksiran itu memilah bola-3 sebagai satu-satunya di antara semua objek, atau manifold, tiga-dimensi lain. 

• Bukti penaksiran Poincaré akhirnya muncul, dengan penelitian matematikawan muda Rusia, Grigori Perelman. Analisisnya juga melengkapi program riset besar yang mengklasifikasi semua kemungkinan manifold tiga-dimensi. 

• Alam semesta kita mungkin berbentuk bola-3. Matematikanya memiliki kaitan dengan fisika partikel dan teori gravitasi Einstein, dan ini membangkitkan keingintahuan.

Pertama kali dipostulatkan oleh matematikawan Prancis, Henri Poincaré, penaksiran tersebut berpandangan bahwa bola-3 adalah satu-satunya di antara banyak manifold-3; tidak ada manifold-3 lain beratribut tersebut yang menjadikannya begitu sederhana. Manifold-manifold-3 yang lebih rumit daripada bola-3 memiliki perbatasan yang akan Anda jumpai seperti dinding bata, atau [memiliki] banyak koneksi dari satu kawasan ke kawasan lain, seperti jalan kecil di hutan yang mencabang dan kemudian bergabung kembali. Penaksiran Poincaré menyatakan bahwa bola-3 adalah satu-satunya manifold-3 yang tidak memiliki kerumitan tersebut. Oleh sebab itu objek tiga-dimensi yang memiliki atribut sama dengan bola bisa diubah bentuk menjadi bentuk bola-3; menurut pendapat para pakar topologi, objek tersebut memang salinan lain bola-3. Bukti milik Perelman juga menjawab pertanyaan ketiga: ini melengkapi karya yang mengklasifikasi semua tipe manifold-3 yang eksis.

Perlu suatu senam mental untuk membayangkan tampilan bola-3—ia bukan sekadar bola dalam pengertian sehari-hari [lihat boks Musik Multidimensi Bola]. Tapi ia memiliki banyak kesamaan atribut dengan bola-2, yang akrab dengan kita semua: Jika Anda perhatikan balon bundar, karet balon membentuk bola-2. Bola-2 adalah dua-dimensi sebab hanya dibutuhkan dua koordinat—garis lintang dan garis bujur—untuk menentukan sebuah titik di permukaannya. Juga, jika Anda perhatikan cakram kecil balon [di permukaannya] dan memeriksanya dengan kaca pembesar, cakram tersebut sangat mirip dengan sebuah potongan dari bidang karet flat dua-dimensi. Hanya saja memiliki sedikit kelengkungan. Bagi seekor serangga kecil yang merayap di permukaan balon, balon akan terasa seperti bidang flat. Tapi jika si serangga berjalan cukup jauh dalam garis lurus (demikian menurut penglihatannya), pada akhirnya ia akan tiba kembali ke titik tolaknya.

Demikian halnya, seekor agas (sejenis lalat penyengat—penj) di bola-3—atau seseorang di bola sebesar alam semesta kita!—merasa dirinya berada di ruang tiga-dimensi “biasa”. Tapi jika ia terbang cukup jauh dalam garis lurus ke suatu arah, pada akhirnya ia akan mengelilingi bola-3 dan kembali ke titik awal, persis seperti serangga di permukaan balon atau seseorang yang melakukan perjalanan mengelilingi bumi. Bola juga eksis dengan dimensi selain tiga. Bola-1 juga akrab dengan Anda: ia cuma lingkaran (pinggiran cakram, bukan cakram itu sendiri). Bola n-dimensi disebut bola-n.

Membuktikan Penaksiran 

Setelah Poincaré mengajukan penaksirannya tentang bola-3, setengah abad berlalu sebelum tercapai kemajuan nyata dalam membuktikannya. Pada 1960-an, para matematikawan membuktikan imbangan-imbangan penaksiran untuk bola lima dimensi atau lebih. Dalam tiap-tiap imbangan, bola-n adalah manifold satu-satunya dan paling sederhana pada dimensionalitas tersebut. Paradoksnya, temuan ini lebih mudah dibuktikan untuk bola-bola berdimensi lebih tinggi daripada bola empat atau tiga dimensi. Bukti pendukung bola empat dimensi yang sulit itu muncul pada 1982. Hanya saja bola tiga-dimensi asli yang mencakup bola-3 Poincaré tetap mengalami kesulitan.

Langkah penting dalam mengakhiri persoalan tiga dimensi terjadi pada November 2002, ketika Perelman, matematikawan di Steklov Institute of Mathematics di St. Petersburg, memposting sebuah paper di www.arxiv.org, web server yang digunakan secara luas oleh fisikawan dan matematikawan sebagai kantor kliring riset baru. Paper itu tidak menyebutkan nama penaksiran Poincaré, tapi pakar-pakar topologi yang memeriksanya segera menyadari pertaliannya dengan teorema tersebut. Perelman melanjutkan dengan paper kedua pada Maret 2003, dan dari April sampai Mei tahun tersebut dia mengunjungi AS untuk memberi serangkaian seminar di Massachusetts Institute of Technology dan Stony Brook University mengenai temuannya. Tim-tim matematikawan di hampir selusin institut terkemuka mulai rajin membaca paper-papernya, memverifikasi setiap detilnya dan mencari kekeliruan.

Di Stony Brook, Perelman memberi kuliah formal dan informal selama dua minggu, berbicara tiga sampai enam jam sehari. “Dia menjawab setiap pertanyaan yang muncul, dan dia sangat gamblang,” kata matematikawan Michael Anderson dari Stony Brook. “Tak ada seorangpun yang merasa ragu.” Satu langkah kecil harus dibuktikan untuk menyempurnakan temuan itu, kata Anderson, “tapi tak ada keraguan nyata soal validitas karya akhir ini.” Paper pertama memuat ide-ide fundamental dan diterima sangat baik sebagai [paper] yang terverifikasi. Paper kedua memuat aplikasi dan argumen yang lebih teknis; verifikasinya belum menyentuh tingkat kepercayaan yang dicapai paper pertama.

Penaksiran Poincaré menawarkan hadiah $1 juta bagi siapa saja yang mendapatkan buktinya: ia adalah salah satu dari tujuh “Persoalan Milenium” yang dipilah pada 2000 oleh Clay Mathematics Institute di Cambridge, Mass. Bukti milik Perelman harus dipublikasikan dan bertahan terhadap pemeriksaan selama dua tahun sebelum dia memenuhi syarat untuk memperoleh hadiah tersebut. (Institut tersebut mungkin memutuskan bahwa pemasangan [bukti Perelman] di web server tergolong sebagai “dipublikasikan” sebab menjalani peer review sebagaimana paper manapun.)

Penelitian Perelman memperluas dan melengkapi program riset yang digali oleh Richard S, Hamilton dari Universitas Columbia pada 1990-an. Clay Institute mengakui penelitian Hamilton dengan memberi sebuah hadiah riset pada akhir 2003. Kalkulasi dan analisis Perelman meniup beberapa penghalang jalan yang dijumpai dan tak bisa diatasi oleh Hamilton.

Jika, sebagaimana harapan setiap orang, bukti milik Perelman benar, itu sesungguhnya melengkapi sebuah penelitian yang jauh lebih besar daripada penaksiran Poincaré. Diluncurkan oleh William P. Thurston—kini di Universitas Cornell—penaksiran geometrisasi Thurston menyediakan klasifikasi lengkap semua kemungkinan manifold-3. Bola-3, satu-satunya dalam hal kesederhanaannya yang indah, menjangkarkan fondasi klasifikasi hebat ini. Seandainya penaksiran Poincaré salah—yakni, seandainya ada banyak ruang yang sama “sederhananya” dengan bola—klasifikasi manifold-manifold-3 akan telah meledak menjadi sesuatu yang lebih rumit daripada ajuan Thurston. Malah, dengan temuan Perelman dan Thurston, kita sekarang mempunyai katalog lengkap semua kemungkinan bentuk yang dapat dikenakan oleh ruang tiga-dimensi—semua bentuk yang diperkenankan oleh matematika yang dapat dimiliki alam semesta kita (pikirkan ruang saja, tak usah dengan waktu).

Donat Karet 

Untuk memahami penaksiran Poincaré dan bukti Perelman secara lebih dalam, Anda harus mengetahui sesuatu tentang topologi. Dalam cabang matematika tersebut, bentuk persis sebuah objek bersifat menyimpang, seolah-olah ia terbuat dari adonan mainan yang bisa Anda regangkan, mampatkan, dan tekuk sedemikian rupa. Tapi mengapa kita mesti mempedulikan objek atau ruang yang terbuat dari adonan mainan imajiner? Alasannya bertalian dengan fakta bahwa bentuk persis objek—jarak dari satu titik ke titik lain di permukaannya—adalah level struktur, yang disebut geometri objek. Dengan mempertimbangkan objek adonan mainan, pakar-pakar topologi menemukan atribut-atribut mana yang begitu fundamental pada sebuah objek sehingga atribut itu eksis secara independen dari struktur geometrinya. Mempelajari topologi adalah seperti menemukan atribut-atribut mana yang dimiliki manusia secara umum dengan mempertimbangkan atribut-atribut “manusia adonan mainan” yang dapat diubah bentuk menjadi manusia tertentu.

Jika Anda pernah membaca keterangan topologi yang populer, Anda barangkali sudah mengetahui kebenaran mutlak lama bahwa cangkir dan donat tidak dapat dibedakan bagi seorang pakar topologi. (Ini mengacu pada donat berbentuk cincin, bukan jenis penuh berisi selai.) Poinnya adalah, Anda dapat mengubah cangkir adonan mainan ke dalam bentuk donat cukup dengan melipat-lipat tanah liat, tanpa harus membuat lubang atau menyambung potongan-potongan [lihat ilustrasi Topologi Permukaan]. Sebuah bola, di sisi lain, bisa diubah menjadi donat hanya dengan membuat lubang menerobos tengahnya atau dengan meregangkannya menjadi silinder lalu menyambung kedua ujungnya. Karena dibutuhkan penyayatan atau penyambungan semacam itu, bola tidak sama dengan donat bagi pakar topologi.

Yang paling menarik bagi pakar topologi adalah permukaan bola dan donat; jadi bukannya membayangkan benda padat, kita mesti membayangkan balon dalam kedua kasus ini. Topologinya masih berbeda—balon bundar tidak bisa diubah bentuk menjadi balon berbentuk cincin, yang disebut torus. Dengan demikian, secara topologis, bola dan torus adalah entitas berbeda. Para pakar topologi terdahulu bermaksudmenemukan ada berapa banyak entitas lain yang berbeda secara topologis dan bagaimana entitas-entitas itu bisa dicirikan. Untuk objek dua-dimensi, yang juga disebut permukaan, jawabannya teratur dan rapi: seberapa banyak “gagang” yang dimiliki sebuah permukaan.

Pada akhir abad 19, matematikawan mengerti bagaimana mengklasifikasi permukaan-permukaan. Dari semua permukaan, mereka tahu bulatan memiliki kesederhanaan satu-satunya. Tentu saja mereka mulai berpikir tentang manifold tiga-dimensi. Sebagai permulaan, apakah bola-3 adalah satu-satunya dalam hal kesederhanaannya, serupa dengan bola-2? Sejarah seabad yang mengikuti pertanyaan mendasar tersebut dikotori dengan langkah dan bukti keliru.

Henri Poincaré menghadapi pertanyaan ini secara langsung. Dia adalah salah seorang dari dua matematikawan terdepan yang aktif di peralihan abad 20 (seorangnya lagi adalah David Hilbert). Poincaré telah disebut sebagai universalis terakhir—dia nyaman dengan semua cabang matematika, murni maupun terapan. Selain memajukan banyak bidang matematika, dia berkontribusi pada teori-teori mekanika angkasa dan elektromagnetisme dan juga filsafat sains (dia menulis beberapa buku populer yang banyak dibaca tentang subjek ini).

Poincaré sebagian besar menciptakan cabang matematika yang disebut aljabar topologi. Pada sekitar 1900, menggunakan teknik dari bidang tersebut, dia merumuskan ukuran topologi objek, disebut homotopi. Untuk menentukan homotopi manifold, bayangkan Anda menyimpan simpal/ikalan tertutup di manifold [lihat boks Topologi Permukaan]. Simpal dapat dibelitkan pada manifold dengan cara apapun. Kita lalu bertanya, apakah simpal selalu dapat disusutkan menjadi titik, hanya dengan menggerak-gerakkannya, tanpa pernah mengangkat potongannya dari manifold? Pada torus, jawabannya tidak. Jika simpal membentang mengelilingi keliling torus, ia tak bisa disusutkan menjadi titik—ia terjebak di cincin dalam (inner ring) donat. Homotopi adalah ukuran berbagai cara terjebaknya simpal.

Di permukaan bola-n, tak peduli seberapa berbelit pun jalur yang diambil simpal, ia selalu dapat diurai dan disusutkan menjadi titik. (Simpal diperkenankan melewati dirinya sendiri selama manipulasi ini.) Poincaré berspekulasi bahwa satu-satunya manifold yang di permukaannya semua simpal dapat disusutkan menjadi titik adalah bola-3, tapi dia tak dapat membuktikannya. Dalam perjalanannya, proposal ini jadi dikenal sebagai penaksiran Poincaré. Selama berdakde-dekade, banyak orang telah mengumumkan bukti penaksiran ini, hanya untuk terbukti salah. (Untuk kejelasan, di sini saya mengabaikan dua kerumitan: manifold non-orientable (tak dapat diarahkan) dan manifold bertepi. Contoh, pita Möbius, pita yang memuntir dan terhubung dalam [bentuk] simpal, adalah manifold non-orientable. Bulatan bercakram yang dipotong darinya memiliki tepi. Pita Möbius juga memiliki tepi.)

Geometrisasi 

Bukti Perelman adalah yang pertama kali bertahan terhadap pemeriksaan cermat. Pendekatannya dalam menganalisa manifold tiga-dimensi berkaitan dengan prosedur yang disebut geometrisasi. Geometri berkenaan dengan bentuk aktual sebuah objek atau manifold: untuk geometri, objek tidak terbuat dari adonan mainan melainkan dari keramik. Cangkir, misalnya, memiliki geometri berbeda dari donat; permukaannya melengkung dengan berbagai cara. Konon cangkir dan donat adalah dua contoh torus topologis (asalkan cangkir memiliki gagang) yang kepadanya berbagai geometri telah diatributkan.

Untuk memahami bagaimana geometrisasi membantu Perelman, pikirkan bagaimana geometri bisa dipakai untuk mengklasifikasi manifold-2, atau permukaan. Tiap-tiap permukaan topologis diatributi geometri istimewa dan satu-satunya: geometri yang menyebabkan kelengkungan permukaan tersebar merata di manifold. Bentuk cangkang telur adalah kemungkinan geometri lain untuk bola topologis, tapi ia tak memiliki kelengkungan yang tersebar merata: ujung kecil telur lebih melengkung daripada ujung besarnya.

Manifold-manifold-2 membentuk tiga tipe geometri [lihat boks Geometrisasi]. Bola memiliki apa yang disebut kelengkungan positif, bentuk puncak bukit. Geometri torus adalah flat; ia memiliki kelengkungan nol, seperti dataran. Sedangkan semua manifold lain, bergagang dua atau lebih, memiliki kelengkungan negatif.

Kelengkungan negatif adalah seperti bentuk jalan gunung atau pelana: dari depan ke belakang, pelana melengkung ke atas; dari kiri ke kanan, ia melengkung ke bawah. Poincaré (siapa lagi?), bersama Paul Koebe dan Felix Klein (botol Klein dinamai dengan namanya), berkontribusi pada klasifikasi geometri, atau geometrisasi, manifold-2 ini.

Wajar sekali mencoba menerapkan metode serupa pada manifold-manifold-3. Apakah memungkinkan 
untuk menemukan geometri satu-satunya untuk tiap-tiap manifold-3 topologis, yang menyebabkan kelengkungan tersebar merata di sepanjang manifold?

Ternyata manifold-3 jauh lebih rumit daripada manifold-2. Kebanyakan manifold-3 tidak dapat diatributi geometri seragam. Malah mereka harus dipotong-potong, setiap potong memiliki geometri kanonikal berlainan. Lebih jauh, potongan-potongan manifold-3 bisa mengenakan delapan geometri kanonikal, bukan tiga geometri dasar seperti pada manifold-2. Pemotong-motongan setiap manifold-3 serupa dengan pemfaktoran sebuah bilangan menjadi hasil perkalian faktor-faktor prima yang unik.

Skema klasifikasi ini pertama kali ditaksir oleh Thurston di akhir 1970-an. Dia dan kolega-koleganya membuktikan sebagian besar penaksiran, tapi poin krusial yang mendasari seluruh sistem masih di luar pemahaman mereka, termasuk bagian yang mencakup penaksiran Poincaré. Apakah bola-3 adalah satu-satunya [di antara banyak manifold lain]? Jawaban terhadap pertanyaan ini dan penyelesaian program Thurston hanya terjadi dengan paper Perelman.

Bagaimana kita mencoba menggeometrisasi manifold—yakni, memberinya kelengkungan seragam? Satu caranya adalah memulai dengan suatu geometri sembarang, misalnya bentuk cangkang telur yang mempunyai berbagai benjolan dan lekukan, dan kemudian meratakan semua ketidakteraturan tersebut. Hamilton memulai program analisis semacam itu untuk manifold-3 di awal 1990-an, menggunakan persamaan bernama aliran Ricci (dinamai dengan nama matematikawan Gregorio Ricci-Curbastro), yang mempunyai beberapa kemiripan dengan persamaan yang mengatur aliran panas. Di sebuah benda yang memiliki titik-titik panas dan dingin, panas pasti mengalir dari kawasan hangat ke kawasan sejuk, hingga temperaturnya seragam di setiap tempat. Persamaan aliran Ricci memiliki efek serupa terhadap kelengkungan, mengubah bentuk manifold hingga meratakan semua jendulan dan cekungan. Jika Anda memulai dengan telur, itu berangsur-angsur menjadi bundar sempurna.

Analisis Hamilton menemui batu sandungan: dalam situasi tertentu, aliran Ricci akan menyebabkan manifold terpencet menjadi titik. (Di sinilah aliran Ricci berbeda dari aliran panas. Tempat-tempat yang terpencet adalah seperti titik yang berusaha mendapatkan temperatur tak terhingga.) Satu contohnya adalah ketika manifold memiliki bentuk halter (palang untuk angkat besi lengan—penj), seperti dua bola yang dihubungkan oleh leher tipis. Bola-bola akan tumbuh, praktisnya menarik material dari leher, yang akan meruncing ke ujung di tengah-tengah [lihat boks Mengurus Singularitas]. Contoh mungkin lainnya muncul saat batang tipis keluar dari manifold; aliran Ricci menghasilkan masalah yang disebut singularitas cerutu. Ketika manifold terpencet dengan cara ini, ia disebut singular—ia bukan lagi manifold tiga-dimensi sejati. Di manifold tiga-dimensi sejati, kawasan kecil di sekeliling titik terlihat seperti kawasan kecil ruang tiga-dimensi biasa, tapi atribut ini rusak pada [level] titik terpencet. Jalan untuk menghindari batu sandungan ini harus menunggu [temuan] Perelman.

Perelman datang ke AS sebagai mahasiswa pascasarjana pada 1992, menjalani semester-semester kuliahnya di Universitas New York dan Stony Brook, disusul dengan dua tahun kuliah di Universitas California di Berkeley. Dia segera mendapat reputasi sebagai bintang muda brilian, membuktikan banyak temuan penting dan mendalam di cabang geometri. Dia dianugerahi hadiah dari European Mathematical Society (yang dia tolak) dan mendapat undangan bergengsi untuk berbicara dalam International Congress of Mathematicians (yang dia terima). Pada musim semi 1995, dia ditawari jabatan di sejumlah fakultas matematika, tapi dia menampik semuanya demi pulang ke kampung halamannya di St. Petersburg. “Secara budaya, dia sangat Rusia,” komentar seorang kolega Amerika-nya. “Dia sangat tidak materialistis.”

Di St. Petersburg, dia pada dasarnya menghilang dari layar radar para matematikawan. Satu-satunya tanda aktivitas, setelah bertahun-tahun, adalah kesempatan langka ketika dia mengirim email ke bekas-bekas koleganya, misalnya untuk menunjukkan kekeliruan dalam paper yang mereka posting di internet. Email-email yang menanyakan aktivitasnya tidak dijawab.

Akhirnya, pada akhir 2002, beberapa orang menerima email darinya [yang isinya] menyiagakan mereka terhadap paper yang sudah dia posting terlebih dahulu di server matematika—email itu hanya berupa catatan singkat khas yang mengatakan mereka akan tertarik dengan paper tersebut. Pernyataan meremehkan itu menggenderangkan tahap pertama serangannya terhadap penaksiran Poincaré. Dalam pracetak, selain kepada afiliasi Steklov Institute-nya, Perelman mengakui dukungan berbentuk uang yang dia tabung dari jabatan pascadoktoralnya di AS.

Poincaré (duduk, mengobrol dengan Marie Curié) menghadiri Solvay Physics Conference pertama di Brussels, Belgia, Oktober 1911. Di belakang mereka berdiri Ernest Rutherford, Heike Kamerlingh Onnes (yang menemukan superkonduktivitas di awal tahun itu), dan Albert Einstein. Konferensi ini mungkin adalah satu-satunya kesempatan Einstein dan Poincaré bertemu. Poincaré meninggal sembilan bulan kemudian.

Dalam papernya, Perelman menambahkan suku baru pada persamaan aliran Ricci. Persamaan modifikasi itu tidak menghapuskan permasalahan singularitas, tapi memungkinkan Perelman membawa analisis tersebut lebih jauh. Pada singularitas halter, dia menunjukkan bahwa “pembedahan” bisa dilakukan: gunting pipa tipis di tiap sisi pencetan yang baru jadi lalu tutup rapat-rapat pipa yang terbuka di tiap bola halter dengan penutup bundar. Dengan begitu aliran Ricci dapat dilanjutkan dengan manifold bedahan sampai pencetan berikutnya, yang juga bisa diterapkan prosedur yang sama. Dia juga menunjukkan bahwa singularitas cerutu tidak bisa terjadi. Dengan cara ini, manifold-3 apapun dapat direduksi menjadi sekumpulan potongan, masing-masing memiliki geometri seragam.

Saat aliran Ricci dan pembedahan diterapkan pada semua kemungkinan manifold-3, manifold yang sama “sederhananya” dengan bola-3 (teknisnya, yang memiliki homotopi sama dengan bola-3) pasti berakhir dengan geometri seragam yang sama dengan bola-3. Hasil tersebut mengandung arti bahwa secara topologis, manifold yang dimaksud adalah bola-3. Dengan kata lain, bola-3 adalah satu-satunya.

Selain membuktikan penaksiran Poincaré, riset Perelman sangat penting untuk teknik-teknik analisis inovatif yang telah diperkenalkannya. Matematikawan memposting paper-paper yang mengandalkan penelitian Perelman atau menerapkan tekniknya pada persoalan lain. Di samping itu, matematikanya memiliki hubungan aneh dengan fisika. Aliran Ricci yang digunakan oleh Hamilton dan Perelman terkait dengan sesuatu yang disebut kelompok renormalisasi (renormalization group), yang menetapkan bagaimana interaksi berubah kekuatan tergantung pada energi tubrukan. Contoh, pada energi rendah, interaksi elektromagnetik memiliki kekuatan yang dicirikan oleh angka 0,0073 (sekitar 1/137). Namun jika dua elektron bertubrukan muka pada hampir kecepatan cahaya, kekuatannya lebih dekat dengan angka 0,0078.

Meningkatkan energi tubrukan sama dengan mempelajari gaya pada skala jarak lebih kecil. Oleh sebab itu kelompok renormalisasi adalah seperti mikroskop dengan pembesaran yang dapat dinaikkan atau diturunkan untuk memeriksa proses dengan detil lebih halus atau lebih kasar. Demikian halnya, aliran Ricci adalah seperti mikroskop untuk memandang manifold dengan pembesaran pilihan. Jendulan dan cekungan yang terlihat dengan pembesaran 1x lenyap pada pembesaran lain. Fisikawan menyangka bahwa pada skala sekitar 10^-35 meter, atau panjang Planck, ruang yang kita tinggali akan terlihat sangat berbeda—seperti “buih” bersimpal banyak dan bergagang banyak serta struktur topologis lain [lihat “Atom Ruang dan Waktu”, tulisan Lee Smolin, Scientific American, Januari 2004]. Matematika yang menggambarkan bagaimana gaya fisikal berubah sangat mirip dengan matematika yang menggambarkan geometrisasi manifold.

Hubungan lainnya dengan fisika adalah bahwa persamaan relativitas umum, yang menggambarkan kerja gravitasi dan struktur skala besar alam semesta, terkait erat dengan persamaan aliran Ricci. Lebih jauh, suku yang Perelman tambahkan pada aliran dasar yang dipakai oleh Hamilton muncul dalam teori string, yang merupakan teori gravitasi quantum. Masih harus dilihat apakah teknik-teknik Perelman akan menguak informasi menarik baru tentang relativitas umum atau teori string. Jika ya, Perelman telah mengajari kita bukan hanya tentang bentuk-bentuk ruang-3 abstrak tapi juga tentang bentuk ruang yang kita tinggali.

Penulis 

Graham P. Collins, staf penulis dan editor, memiliki gelar dalam bidang matematika dan fisika. Untuk informasi tambahan mengenai penaksiran Poincaré, kunjungi www.sciam.com/ontheweb.

Untuk Digali Lebih Jauh

• The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report. John W. Milnor. Februari 2003. Tersedia di www.math.sunysb.edu/~jack/PREPRINTS/poiproof.pdf.
• Jules Henri Poincaré (biografi). Oktober 2003. Tersedia di www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Poincare.html.
• Millennium Problems. The Clay Mathematics Institute: www.claymath.org/millennium/.
• Catatan dan komentar mengenai paper-paper aliran Ricci karya Perelman. Disusun oleh Bruce Kleiner dan John Lott. Tersedia di www.math.lsa.umich.edu/research/ricciflow/perelman.html.
• Topology. Eric W. Weisstein dalam Mathworld—A Wolfram Web Resource. Tersedia di www.mathworld.wolfram.com/Topology.html.

Sumber: Sainstory - Sains Social History